什么是重心坐标?

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重心坐标常常以隐蔽的形式出现于涉及向量的数学题目中。

在一维情形,选定了直线上的有序相异二点,该直线上的每个点都唯一地对应着和等于 的有序实数对,称为该点关于选定的有序二点组的重心坐标。特别地,选定的二点及它们的中点的重心坐标分别为

在二维情形,选定了平面上不共线的有序三点,该平面上的每个点都唯一地对应着和等于 的有序实数三元组,称为该点关于选定的有序三点组的重心坐标。特别地,选定的三点及它们的重心点的重心坐标分别为

在三维情形,选定了空间中的不共面的有序四点,该平面上的每个点都唯一地对应着和等于 的有序实数四元组,称为该点关于选定的有序四点组的重心坐标。特别地,选定的四点及它们的重心点的重心坐标分别为(更正:重心点的坐标是四个1/4)

这样就得到了直线、平面和空间的重心坐标系

本文简要介绍一维、二维、三维重心坐标系,适合于准备参加强基计划的中学生阅读。

(一)点组的幺和系数的线性组合——代表点

称一组数为幺和的,如果它们的和等于

下面的命题表明,任何点组的一组幺和系数的线性组合代表唯一确定的点。

命题1 是空间中的点组, 是一组幺和的实数。则存在唯一点 使得向量等式

于任意点 成立。

证明:任取点 则有向量

根据向量的定义,存在唯一点 使得

现在证明,如果把 换成任意另外的点 上述向量等式仍成立。

利用等式

立即得到

这就证明了命题1。

记号:我们把与点 无关的向量等式

简写为

并进一步理解为关于点组的线性组合的等式。

(二)点组的零和系数的线性组合,代表向量

称一组数为零和的,如果它们的和等于

下面的命题表明,任何点组的一组零和系数的线性组合代表唯一确定的向量。

命题2 是空间中的点组, 是一组零和的实数。则

是确定的向量,与点 无关。

证明:对于任意点 利用

立即得到

这就证明了命题2。

记号:我们把与点 无关的向量等式

简写为

并理解为点组的零和系数的线性组合。

(三)重心坐标系

尽管可用统一方式叙述一维到三维的重心坐标系,但是为了便于理解,我们分别写出一维、二维、三维的命题。

命题3.1 是直线上有序相异二点。任取该直线上一点 存在唯一的幺和的有序二元实数组 使得

这里的幺和的有序二元实数组 称为 关于有序二点组 一维重心坐标

容易验证, 关于有序二点组 的重心坐标分别为

命题3.2 是平面上不共线的有序三点。任取该平面上一点 存在唯一的幺和的有序三元实数组 使得

这里的幺和的有序三元实数组 称为 关于有序三点组 二维重心坐标

容易验证, 关于有序三点组 的重心坐标分别为

命题3.3 是空间中不共面的有序四点。任取空间中的一点 存在唯一的幺和的有序四元实数组 使得

这里的幺和的有序四元实数组 称为 关于有序四点组 三维重心坐标

容易验证, 关于有序四点组 的重心坐标分别为

这三个命题的证明是完全类似的。这里我们仅写出三维情形的证明。

命题3.3的证明:根据向量的几何基础,点组 不共面,等价于向量组 不共面。

因此向量 可以唯一方式表示为向量组 的线性组合,即存在唯一的有序三元实数组 使得

对于任意点

规定

则有

为了证明唯一性,从命题中的等式出发,立刻得到

因为向量组 不共面,所以有序三元实数组 是唯一的,从而 也是唯一的。

这就完成了命题3.3的证明。

:由证明的后一部分可知,任意给定幺和的有序四元实数组 存在空间中的点 使得 关于有序四点组 的三维重心坐标为

因此三维的重心坐标系建立了空间中的全体点与幺和的全体有序四元实数组 之间的一一对应。

一维及二维重心坐标系也有完全类似的性质。

(五)重心坐标的物理意义

按照物理学来解释,点的重心坐标,可以理解为有限质点体系的各点所配的质量占比。

一维情形:设点 关于有序相异二点组 的重心坐标为 可以理解为质量之比为

的二质点系统 质心

二维情形:设点 关于不共线的有序三点组 的重心坐标为 可以理解为质量之比为

的三质点系统 质心

三维情形:设点 关于不共面的有序四点组 的重心坐标为 可以理解为质量之比为

的四质点系统 质心

需要注意的是,这里的“质量”是数学意义上的,允许任意实数值。

(六)重心坐标的几何意义

重心坐标可以表示为适当的有向图形之比。

命题6.1 是直线上有序相异二点。则该直线上的任意点 的重心坐标 由有向线段之比给出:

这里有向线段 是用 分别替换有向线段 中的 所得到的。

命题6.2 是平面上不共线的有序三点。则该平面上的任意点 的重心坐标 由三角形的有向面积之比给出:

:这里有向三角形 是用 分别替换有向三角形 中的 所得到的。

类似地,三维重心坐标可以表示为有序四面体的代数体积之比。

(七)齐次重心坐标

称重心坐标的连比为齐次重心坐标。为区别,原来定义的重心坐标,也称为标准重心坐标

根据重心坐标的几何意义,一维齐次重心坐标为

二维齐次重心坐标为

三维齐次重心坐标为

由齐次重心坐标,容易得到标准重心坐标。

齐次重心坐标为 的点的标准重心坐标为

或简写为

(八)由分割比求出重心坐标之比

给定三角形 所在平面上不同于顶点的一点

设直线 分别交对边所在的直线

关于 的齐次重心坐标为

关于 的齐次重心坐标为

容易看出, 分各自所在边之比为

由此可以得出 的对应的重心坐标之比,从而求出 的齐次重心坐标。

(九)三角形的几个特殊点的重心坐标

按惯例,记三角形 的边 的长度分别为 周长为 而顶点 处的内角分别为

根据重心坐标的几何意义,或者利用上一节的方法,可以求得三角形 的重心、内心、旁心垂心、外心关于 重心坐标。

命题G三角形 的重心的齐次及标准重心坐标为

命题I三角形 的内心的齐次及标准重心坐标为

命题I'三角形 的旁心的齐次及标准重心坐标为

命题H三角形 的垂心的齐次及标准重心坐标为

命题O三角形 的外心的齐次及标准重心坐标为

或者表示为另外的形式:

三角形的特殊点都可通过重心坐标来给出。Clark Kimberling建立了三角形特殊点大百科:

https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

(十)欧拉线定理

利用外心、重心、垂心的标准重心坐标,立即得出著名的欧拉线定理。

欧拉线定理:三角形的外心 重心 垂心 共线,且满足

证明:已经求得三角形 的外心、重心、垂心的标准重心坐标为

容易直接验证它们的标准重心坐标满足

因此 落在线段 上,且分割比为

这就证明了欧拉线定理。

(十一)三角形边框图形的重心

作为重心坐标方法的简单应用,我们确定三角形边框图形的重心点。

命题K三角形 的边框图形的重心点 的齐次及标准重心坐标为

证明:令三角形 的边 的质量 (即边长) 分别集中于该边的中心 分别配以质量 所构成的三质点系统的质心。因此有

这就证明了命题K。

(十二)结束语

重心坐标方法在几何学拓扑学计算机图形学及地球物理中都有重要应用。

历史上,重心坐标系是由德国数学家莫比乌斯 (August Ferdinand Möbius, 1790-1868) 于1827年引入的。

从射影几何的观点来看,重心坐标系是一种射影坐标系。

通过齐次重心坐标,可以找出射影几何意义下的无穷远点——它们恰好是那些齐次重心坐标不全为零但其和等于零的新的“点”。

希望同学们已经初步理解了什么是重心坐标


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来源:数学元年

编辑:Quantum Bard

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